概率论中各种分布相关的一些笔记 ​

离散型随机变量 ​

两点分布（或(0,1)分布） ​

定义 ​

如果随机变量$X$只取$0$和$1$两个值，其概率分布为：

或写成

则称随机变量$X$服从参数为$p$的$(0,1)$分布或两点分布。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

二项分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率分布为：

其中$n$为正整数，$0<p<1$，则称随机变量$X$服从参数为$n,p$的二项分布，记作$X\sim b(n,p)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

泊松（Poisson）分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率分布为：

其中$\lambda >0$，则称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X\sim \pi (\lambda )$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

几何分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率分布为：

其中$0<p<1$，则称随机变量$X$服从参数为$p$的几何分布，记作$X\sim g(p)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

超几何分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率分布为：

其中$N,M,n$为正整数，且$M\le N,n\le N$，则称随机变量$X$服从参数为$N,M,n$的超几何分布，记作$X\sim h(N,M,n)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

连续型随机变量 ​

均匀分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率密度为：

其中$a<b$，则称随机变量$X$服从区间$[a,b]$上的均匀分布，记作$X\sim U(a,b)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

正态分布 ​

定义 ​

设随机变量$X$的概率密度为：

其中$-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty },\sigma >0$，则称随机变量$X$服从参数为$\mu ,{\sigma }^2$的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

二维连续型随机变量 ​

均匀分布 ​

定义 ​

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为：

其中$a<b,c<d$，则称二维随机变量$(X,Y)$服从矩形区域$[a,b]\times [c,d]$上的均匀分布，记作$(X,Y)\sim U(a,b,c,d)$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

正态分布 ​

定义 ​

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为：

其中$-\mathrm{\infty }<{\mu }_1,{\mu }_2<\mathrm{\infty },{\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$，则称二维随机变量$(X,Y)$服从参数为${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho$的二维正态分布，记作$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$。

数学期望 ​

数学期望为：

方差 ​

方差为：

二维连续型随机变量的函数的分布 ​

$Z=X+Y$的概率密度 ​

设$X$与$Y$相互独立，$f_X(x)$和$f_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘概率密度，则随机变量$Z=X+Y$的概率密度为：

$M=max(X,Y)$和$N=min(X,Y)$的分布函数 ​

设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，则随机变量$M=max(X,Y)$和$N=min(X,Y)$的分布函数分别为：

其中$F_X(x)$和$F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数。

最后编辑：2025-11-10
编辑人：Aronda